16. Equazioni e Disequazioni

☆ scadenza: 30 settembre

16.1 Introduzione alle Disequazioni

Che cos’è una disequazione

Numeri, continuamente numeri: il numero dei giri, il numero della macchina, il distacco, il tempo trascorso, il tempo che manca, il numero sulla maglia, il punteggio…

• Servono veramente tutti questi numeri?
• Sono essenziali o se ne potrebbe fare a meno?

Gli intervalli

L’insieme delle soluzioni di una disequazione in una incognita si può generalmente descrivere tramite particolari insiemi, o loro unioni, detti intervalli, che ora definiamo.

INTERVALLI LIMITATI

Siano $a$ e $b$ due numeri reali, con $a<b$.

• Un intervallo limitato chiuso, indicato con $[a, b]$, è l’insieme dei numeri reali $x$ tali che $a \leq x \leq b$.
• Un intervallo limitato aperto, indicato con $(a, b)$, è l’insieme dei numeri reali $x$ tali che $a<x<b$.
• Un intervallo limitato chiuso a sinistra e aperto a destra, indicato con $[a, b)$, è $l^{\prime}$ insieme dei numeri reali $x$ tali che $a \leq x<b$.
• Un intervallo limitato aperto a sinistra e chiuso a destra, indicato con $(a, b]$, è $l^{\prime}$ insieme dei numeri reali $x$ tali che $a<x \leq b$.

INTERVALLI ILLIMITATI

Sia $a$ un numero reale.

• Un intervallo chiuso, illimitato a destra, indicato con $[a,+\infty)$, è l’insieme dei numeri reali $x$ tali che $x \geq a$.
• Un intervallo aperto, illimitato a destra, indicato con $(a,+\infty)$, è l’insieme dei numeri reali $x$ tali che $x>a$.
• Un intervallo chiuso, illimitato a sinistra, indicato con $(-\infty, a]$, è l’insieme dei numeri reali $x$ tali che $x \leq a$.
• Un intervallo aperto, illimitato a sinistra, indicato con $(-\infty, a)$, è l’insieme dei numeri reali $x$ tali che $x<a$.

Un intervallo è rappresentato sulla retta reale da una semiretta o da un segmento, a seconda che sia illimitato oppure limitato. Per la sua rappresentazione utilizzeremo le seguenti convenzioni:

• una linea continua indica l’intervallo che vogliamo rappresentare;
• una linea tratteggiata rappresenta l’insieme dei numeri che non appartengono all’intervallo che vogliamo rappresentare;
• un punto vuoto indica l’estremo di un intervallo quando esso non appartiene all’intervallo stesso;
• un punto pieno indica l’estremo di un intervallo quando esso appartiene all’intervallo stesso.

16.2 Le disequazioni intere di primo grado

$$ \mathbb{N} = \{ 0; 1; 2; 3; \dots \} $$