Relazione $\mathcal{R}$

definizione:

• Se una relazione opera tra un insieme $A$ e se stesso, si dice relazione nell’insieme $A$.
• In generale si scrive: $\mathcal{R}:A⟶B$
• oppure: $\mathcal{R}:a\in A⟶b\in B$

Definizioni

Dominio e Codominio $\mathcal{R}$

Dominio di una relazione $D$:

Codominio di una relazione $C$:

Immagine e Controimmagine

Immagine di una relazione:

Controimmagine di una relazione:

Dominio e Codominio $\mathcal{R}$

tramite le def. di immagine e controimmagine

Dominio di una relazione (D):

Codominio di una relazione (C):

proprietà delle relazioni:

• Riflessiva: ogni elemento è in relazione con se stesso: $\mathrm{\forall }x\in A,x\mathcal{R}y$
• Antiriflessiva: nessun elemento è in relazione con se stesso: $\mathrm{\forall }x\in A,x\cancel{\mathcal{R}}y$
• Simmetrica: se $x$ è in relazione con $y$, allora $y$ è in relazione con $x$: $(x\mathcal{R}y)\vee (y\mathcal{R}z)⟶x\mathcal{R}z$, con $x,y,z\in A$
• Antisimmetrica: se $x$ è in relazione con $y$ e $y$ è in relazione con $x$, allora $x=y$: $(x\mathcal{R}y)\wedge (y\mathcal{R}x)⟶x=y$, con $x,y\in A$
• Transitiva: se $x$ è in relazione con $y$, e $y$ è in relazione con "z" allora $x$ è in relazione con $z$: $(x\mathcal{R}y)\wedge (y\mathcal{R}z)⟶x\mathcal{R}z$, con $x,y,z\in A$

Relazioni di equivalenza

definizione: una relazione $\mathcal{R}$ definita in un insieme $A$ è una relazione di equivalenza se gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Se $\mathcal{R}$ è una relazione di equivalenza, due elementi in relazione tra loro si dicono equivalenti rispetto a $\mathcal{R}$

• I sottoinsiemi di $A$ costituiti da elementi tutti equivalenti fra loro rispetto alla relazione di equivalenza $\mathcal{R}$ si dicono classi di equivalenza di $\mathcal{R}$.
• Essi costituiscono una partizione di $A$ e l’insieme che ha per elementi le classi di equivalenza rispetto a $\mathcal{R}$ si chiama insieme quoziente.

Relazioni d'ordine

definizione: relazione $\mathcal{R}$ che gode delle proprietà antisimmetrica e transitiva

• Se $\mathcal{R}$ è anche antiriflessiva, essa è detta relazione d’ordine stretto
• Se $\mathcal{R}$ è anche riflessiva, essa è detta relazione d’ordine largo
• in particolare:
• se $\mathcal{R}$ è una relazione d’ordine e $x\mathcal{R}y$, si dice che $x$ precede $y$ o che $y$ segue $x$ in $\mathcal{R}$
• se $\mathrm{\forall }x\in A$ e $\mathrm{\forall }y\in A$ tali che $x\ne y$ risulta $(x\mathcal{R}y)\wedge (y\mathcal{R}x)$, allora si dice che $\mathcal{R}$ è una relazione d’ordine totale.
  Altrimenti $\mathcal{R}$ è detta relazione d’ordine parziale

definizioni importanti

Dominio: In una funzione il dominio coincide - a meno di punti particolari - con l'insieme di partenza;

Codominio: In una funzione il dominio coincide - a meno di punti particolari - con l'insieme di partenza;

Immagine: In una funzione il dominio coincide - a meno di punti particolari - con l'insieme di partenza;

Contro-Immagine: In una funzione il dominio coincide - a meno di punti particolari - con l'insieme di partenza;

l'elettrocardiogramma

che cos'é l'elettrocardiogramma

L’elettrocardiogramma (ECG) è un esame cardiologico di tipo strumentale che viene eseguito in ambulatorio, o al letto del paziente qualora si trovi in ospedale o a domicilio, mediante il quale è possibile registrare e visualizzare graficamente l'attività elettrica del cuore.
Dalla successiva valutazione della rappresentazione grafica, il cardiologo ottiene indicazioni utili sullo stato del cuore.

matematicamente

l'elettrocardiogramma

A che cosa serve l'ECG?

• L’elettrocardiogramma fornisce numerose informazioni sullo stato di salute del cuore: consente infatti di misurare la frequenza cardiacaindividuare eventuali aritmie e turbe della conduzione, sospettare un aumento di dimensione delle camere cardiache, e squilibri elettrolitici.
• L’elettrocardiogramma si modifica anche in presenza di numerose condizioni patologiche cardiache, come per esempio l’ischemia acuta, la pericardite, la sindrome di Tako-Tsubo, le cardiomiopatie e in esiti di precedenti infarti.

l'elettrocardiogramma

A che cosa serve l'ECG?

• L’elettrocardiogramma può essere eseguito a riposo (standard), con il paziente sdraiato sul lettino, o sotto sforzo, con il paziente che cammina su un tapis roulant o pedala su una cyclette. L’elettrocardiogramma sotto sforzo permette di individuare patologie cardiache latenti.
• Vi è poi un terzo tipo di elettrocardiogramma, denominato elettrocardiogramma secondo Holter o dinamico, che offre la possibilità di monitorare la funzione cardiaca nell'arco di un certo periodo di tempo, in genere 24 ore.

le variabili coinvolte:

• Onda P: piccola onda positiva, indica la depolarizzazione atriale (attivazione elettrica degli atri)
• Intervallo PR: distanza fra l’inizio dell’onda P e l’inizio del complesso QRS, rappresenta l’intervallo necessario perché la depolarizzazione atriale raggiunga i ventricoli
• Complesso QRS: rappresenta la depolarizzazione ventricolare
• Onda Q: prima deflessione negativa
• Onda R: prima deflessione positiva
• Onda S: seconda deflessione negativa
• Tratto ST: distanza fra l’onda S e l’inizio dell’onda T, rappresenta l’intervallo fra la depolarizzazione ventricolare e l’inizio della ripolarizzazione ventricolare (ripristino delle condizioni elettriche di base)
• Onda T: prima onda positiva successiva al complesso QRS, rappresenta la ripolarizzazione ventricolare
• Intervallo QT: distanza fra l’inizio del QRS e la fine dell’onda T, rappresenta l’intera attività elettrica ventricolare
• Onda U: onda positiva successiva all’onda T, non sempre presente, rappresenta la ripolarizzazione delle fibre del Purkinje

matematicamente...

• Attualmente la tecnica più utilizzata per il riconoscimento on line del complesso QRS è quella del filtraggio digitale.
• Un filtro è una trasformazione lineare che al segnale $x_t$ associa un segnale $y_t$ definito da una funzione del tipo:

$$y_t=\sum _{k=1}^{n}f(k)y_{t-k}+\sum _{i=1}^{m}g(i)x_{t-i}$$